Власов В.Н.

Сложность и простота нашего бытия - 9.

Уравнение Пуазейля для эластичных капилляров.

 

            Данная тема родилась давно и появление её было связано, если не напрямую, то косвенно, с попыткой разобраться с механизмом возникновения звуков Короткова. Началось всё в 1975-1977 годах. Но затем за житейскими проблемами материал оказался в архивной папке и пролежал там 27 лет. Возможно эта задача уже решена кем-то другим, хотя, учитывая развал науки и образования, в это трудно верится.

            Итак, задачей этой статьи будет теоретическая проработка одной проблемы, над которой в 60-70 годы 20 века работали некоторые физиологи и биофизики. И, заодно, хочется показать как медленно математические методы в те годы проникали в биологию и медицину. Хочется надеяться, что в наше время перемен этот крен удалось уменьшить. Хотя…

            В гидродинамике широко применяется уравнение Пуазейля для анализа движения жидкости в тонких трубках – капиллярах. В связи с неоднозначностью термина капилляр (в медицине капилляр – это одно, микронные сосуды между артериолами и венулами, в лабораторном деле – это тонкие стеклянные трубки, например такие, какими берут (засасывают) кровь на анализ, в гемодинамике -  тонкие трубки, в которых отношение диаметра к длине есть величина значительно большая единицы, и в которых имеет место ламинарное течение жидкости. Поэтому условимся считать за капилляр круглую трубку, длина которой значительно больше радиуса сечения, толщина стенок, наоборот, будет значительно меньше радиуса, и в которой при движении жидкости наблюдается только ламинарное течение. Хотя нас будет интересовать не сколько скорость движения жидкости через капилляр, сколько зависимость пропускной способности одного и того же эластичного капилляра от разности давлений на его концах. То, что капилляр может быть сделан из стекла, из резины или быть частью артериолы (мелких артерий), думаю всем понятно. И именно гидродинамика в эластичном капилляре нас будет интересовать, так как непонимание этих закономерностей приводило физиологов 60-70 годов 20 века к неверным выводам.

            Для стеклянных и, вообще, жестких капилляров, уравнение Пуазейля, обычно, записывается в виде

 

                                       (1)

Где                 

 

 

            Учитывая, что π*r² – это площадь сечения круглого капилляра, то уравнение (1) можно представить в виде

 

 

                                       (2)

Где                 

 

Для того, чтобы упростить математические выкладки, примем, что у каждого капилляра одна и та же длина, что жидкость пропускается через капилляр за одинаковый отрезок времени, что жидкость в эксперименте одна и та же. Тогда время, вязкость жидкости и длину капилляра можно с константами 8 и «пи» «спрятать» в константе К, которая будет равна

 

                                       (3)

           

Тогда уравнение (2) с учетом (3) перейдет в следующее

 

                                       (4)

 

Таким образом целью нашего математического моделирования будут поиск зависимости объема протекающей через капилляр жидкости в зависимости от его начального сечения и разности давлений на его концах. Этим самым мы сразу предполагаем, что у эластичных капилляров имеется зависимость площади поперечного сечения капилляра от давления в нём. Сделаем еще одно допущение, а именно, предположим, что капилляр будет равномерно растягиваться вдоль всей длинны капилляра, хотя это не совсем так, ибо давление вначале капилляра всегда будет выше, чем его конце. Тогда в среднем изнутри на стенки капилляра будет воздействовать дополнительное давление р/2, но этот факт прекрасно скрадывается коэффициентом К.

Неучет эластичности капилляров (артериолы) при анализе гемодинамических проявлений приводит к заметным ошибкам, так как для жестких капилляров получаются одни цифры, а эластичные капилляры сильно растягиваются. Н.Н. Савицкий, например, считал, что «необходимо рассматривать размер радиуса капилляров и прекапилляров как функцию давления и модуля упругости их стенки». Попытки других исследователей применить уравнение Пуазейля к артериолам, прекапиллярам и капиллярам без учета их эластичности приводили к разноречивым результатам. Между практическими и «теоретическими» данными получалась существенная разница. Практически через кровеносные или эластичные  сосуды протекало больше жидкости, чем это следовало из расчетов по формуле Пуазейля. Такое положение привело к разочарованию некоторых ученых в правильности законов гидродинамики для системы эластичных кровеносных капилляров и артериол.

По утверждению Н.Н. Савицкого, кровеносные капилляры при повышении давления в них сильно расширяются и, следовательно, через них обязательно пройдет больший объем крови, чем это следует из уравнения Пуазейля, если в него подставить начальный радиус капилляра или другого эластичного сосуда. Он предположил, согласно (4), что если для стеклянных капилляров справедливо равенство

 

                                          (5)

 

то для эластичных капилляров оно примет вид

 

                                     (6)

 

            Для определения коэффициента М требуется знать зависимость площади сечения капилляра от разности давления на его концах, а значит от внутреннего среднего давления в капилляре.

            Существует полученная опытным путем для артерий зависимость Франка, которая связывает воедино следующие величины: относительное изменение площади сечения, изменение давления, скорость пульсовой волны и плотность крови. И математически она выглядит так

 

                                     (7)

где                 

 

            Эта формула (7) верна при небольших изменениях давления, но оказывалась неточной, если разность давления была значительной. Имелись попытки измерить скорость пульсовой волны по формуле Франка, но все они ничего толком  не дали. Со своей стороны Н.Н. Савицкий применил уравнение (7) для определения коэффициента М в формуле (6). По его мнению этот коэффициент равен

 

                                     (8)

 

            А сама формула Н.Н. Савицкого выглядит так

 

                              (9)

 

            Формула (8) показывает, что между давлением в эластичном капилляре и объемом прошедшей через него жидкости зависимость не линейная, а имеет тенденцию к степенной. С другой стороны Н.Н. Савицким также в опытах на капиллярах было найдено, что между объемом прошедшей через эластичный капилляр и давлением в нем наблюдается такая зависимость

 

                              (10)

 

            Но вывести зависимость (10) из (9) ему не удалось. Поэтому объяснить этот удивительный факт он не сумел. Кроме того, он не заметил, что его формула (9) неверна. Ошибка выявляется даже с помощью мысленного эксперимента. Предположим, что разность давления в капилляре равна 2*∆p. Если мы установим эту разность давлений сразу, то получим, что площадь сечения капилляра станет равна

 

                                     (11)

 

            Если же увеличивать разность давления в два приема по ∆p в каждом случае, то конечная площадь сечения должна быть равна

 

                                     (12)

            Ясно, что малых значениях ∆p формулы (11) и (12) дадут практически одинаковый результат, но при распространении их на произвольный интервал значений ∆p они могут дать большую ошибку. Одна формула даст завышенный результат, а вторая – заниженный. Таким образом доказано, что учесть зависимость площади сечения капилляра от внутреннего давления с помощью формулы, содержащей алгебраические зависимости, можно только приблизительно. И здесь Н.Н.Савицким было сделано всё возможное. И его решение стало отправным пунктом для наших рассуждений.

            Решить более точно поставленную Н.Н. Савицким задачу можно только с использованием высшей математики. Можно прийти к решению через использование теории пределов, но мы сразу примем формулу Франка в качестве уже готового дифференциального уравнения

 

                                                    (13)

 

            Решая это простое дифференциальное уравнение, получаем, считая, что при p=0 имеем S=S_0,

 

                                       (14)

           

Это и есть более общее решение зависимости площади сечения капилляра от начальной площади сечения, давления, плотности крови и скорости пульсовой волны. Если теперь предположить, что плотность крови от давления не зависит, а вместо С²  под интегралом в формуле (14) использовать значение (1/(С²))ср, то получим

 

                      (15)

 

            С учетом (15) уравнение Н.Н. Савицкого (9) преобразится в

 

                     (16)

 

            Можно считать, что уравнение (16), полученное более корректным способом, точнее отображает особенности поведения эластичного капилляра, чем уравнение (9). С другой стороны, уравнение (16) при малых значениях ∆p можно аппроксимировать уравнением (9), используя известное представление функции exp(x) в виде ряда

 

                       (17)

           

            При малых значениях х можно принять, что

 

                                           (18)

 

            Тогда уравнение (16) «превращается» в уравнение (9). Таким образом, уравнение Н.Н.Савицкого (9) – это первое приближение уравнения (16). Уравнение Пуазейля (4) для эластичных капилляров примет вид.

 

        (19)

 

            Множитель  показывает, во сколько раз эластичный капилляр при прочих равных условиях с жестким капиллярам пропускает больше жидкости. Естественно, эта формула еще нуждается в доработке, но уже ясно, что опираясь на неё можно сделать серьёзные выводы.

            Оценим значение множителя для стеклянного и эластичного капилляра. В первом случае С=4*10⁵ см/сек, в во втором – 300 см/сек. Получаем для множителя для реальных цифр давления и плотности крови следующие значения: стеклянный капилляр – 1.0000002 (эта величина практически неотличима от единицы), а для эластичного капилляра (артериолы) – 10-30. Таков порядок величин, и значит разница в объеме крови, которую способен пропустить эластичный капилляр по сравнению со стеклянным.

            Теперь попытаемся из уравнения (16) получить уравнение (10). Прологарифмируем уравнение (16)

 

           (20)

 

       (21)

 

            Если ∆p<<p1, то

 

                (22)

Или

    ( 23)

 

            Полученное уравнение (23) равносильно уравнению (10). Попутно получено значение для коэффициента М1 в уравнении (10). Он оказался зависимым от начального давления р1, вязкости крови и скорости распространения пульсовой волны (жесткости или эластичности капилляра. Справедливости ради следует отметить, что Н.Н.Савицкий мог бы это соотношение получить из своего уравнения (9). Только в формуле (23) фигурирует коэффициент       , а у Н.Н.Савицкого этот коэффициент был бы равен (1/С²). Но, к сожалению, видимо, незнание высшей математики, не позволили ему через формулу (9) увидеть формулу (10).

Итак, приняв за основу известные науке факты и подвергнув их более правильной математической оценке, удалось получить теоретическое подтверждение некоторым фактам, которые при решении задачи «в лоб» с использование методов алгебры получить не удавалось.

Этот пример приведен мной не только в качестве иллюстрации важности знания математических методов, выходящих за пределы курса средней школы для всех желающих получить высшее образование. Крайне важно приобщать к ним и школьников, чтобы они не только могли оперировать четырьмя арифметическими действиями, что обязательно при работе с деньгами, но и понимали нелинейность явлений Природы.

            И желание нашего министра образования упростить образовательный процесс приведет к тому, что люди просто перестанут понимать друг друга, как это случилось со строителями Вавилонской башни. Чтобы этого не произошло вновь, следует учить всех граждан России единому литературному языку, в котором знание основ всех разделов высшей математики, физики, химии, биологии, физиологии человека и еще ряда обязательных направлений должно выполнять роль цемента, превращающего рыхлый песок людского невежества в прочный монолит.

           

Литература:

1.      Корн Г. И Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М,. 1970.

2.      Косицкий Г.И. Звуковой метод исследования артериального давления. М., 1959.

3.      Мультановский М.П. Метод Короткова. История его открытия и экспериментального толкования и современная оценка. Cor et vasa. 1970.

4.      Мясников А.П. Пропедевтика внутренних болезней.

5.      Палеев Н.Р. и Каевицер И.М. Атлас гемодинамических исследований в клинике внутренних болезней. М., 1975.

6.      Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1976.

7.      Ремизов Н. Учебник физики для медицинских институтов. М., 1977.

8.      Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1971.

9.      Савицкий Н.Н. Биофизические основы кровообращения и клинические методы измерения гемодинамики, Л., 1974.

10. Элементарный учебник физики. Под ред. Акад. Г.С. Ландсберга. Том 1, 1975.

 

Последняя редакция 12 августа 2007 г.

 

Сложность и простота нашего бытия

На главную