Добавить рекламное объявление

Моделирование маятника Милковича в Живой Физике

Бакунин В.В.

1. Описание подготовки эксперимента.

Маятник Милковича представляет из себя в статическом положении уравновешенный рычаг (кулису), один конец которого нагружен грузом или растянутой (сжатой) пружиной, или тем и другим вместе, а другой конец – свободно весящим маятником (рис.1). При раскачивании маятника на его ось действует знакопеременная периодическая сила, что вызывает качание кулисы. При создании на кулисе полезной нагрузки в виде насоса, молота (и др.), или непосредственно на оси кулисы, т.е. знакопеременной полезной нагрузки, происходит снятие мощности.

Рисунок 1. Маятник Милковича

Целью эксперимента было получение графиков полезной (выходной) мощности и затраченной (входной) мощности как функций от времени, определение мгновенной (за временной шаг измерения) работы входа и выхода, их разности, определение работы выходной и входной нагрузки за период маятника, а также предварительный анализ распределения выходной и входной работы во времени.

Поскольку автор проводил в своё время натурный эксперимент, то за параметры модели были взяты параметры, приближенные к натурному опыту: кулиса длиной 0,5 м, массой 0,2 кг (дерево), маятник 1,2 кг, штанга маятника 0,02 кг(специально занижена с целью сосредоточения центра масс маятника в его грузе), длина маятника от оси вращения до центра массы 40 см противовес 1,22 кг. Центр массы противовеса и оси маятника на одинаковом расстоянии относительно оси вращения кулисы.

Стабильная работа маятника Милковича возможна, если подкачка маятника внешней силой синхронизирована с собственной частотой колебания маятника (явление резонанса), а величина нагрузки (демпфирование) достаточная, чтобы маятник не пошёл в разнос, а совершал автоколебания. Чтобы избежать высчитывания собственной частоты колебаний маятника или получения её экспериментальным путём было принято простое решение – задать подкачивающую силу пропорционально скорости центра массы маятника:

                                                                                 (1),

где – начальная небольшая сила, обеспечивающая страгивание маятника,

– проекция скорости центра масс маятника на ось действия подкачивающей силы,

К – масштабный коэффициент.

В ЖФ это было реализовано созданием горизонтальной силы, приложенной к центру масс маятника, в свойствах горизонтальной проекции которой введено следующее выражение:

                          (1а),

- скорость центра масс маятника .

Это выражение позволяет, во-первых, задать направление силы, совпадающее с направлением скорости движения, во вторых, менять максимальное значение силы до нулевого (практически) в зависимости от изменения скорости, тем самым обеспечивая синхронное подкачивание. Масштабный коэффициент был получен экспериментально в соответствии с подбором коэффициента демпфирования полезной нагрузки таким образом, чтобы маятник совершал колебания на угол порядка 45 градусов.

              Оси вращения маятника и кулисы были организованы в виде выбора такого инструмента в Живой Физике (ЖФ) как демпфер вращения с целью учёта трения на осях через возможность задания сопротивления в виде коэффициента демпфирования в инструменте демпфер вращения.

Поскольку выходная мощность – это сумма мощностей, снимаемых с полезной нагрузки (демпфера) и мощностей, идущих на преодоление трения в осях маятника и кулисы, то было принято решение не распыляться, а предположить, что вся снимаемая мощность сосредоточена в полезной нагрузке (демпфере), которая включает в себя мощности трения осей. Для этого коэффициенты демпфирования демпферов вращения осей заданы 0. Коэффициент демпфирования на демпфере был подобран экспериментально и равен 50 исходя из условия приблизительной одинаковости угла качания кулисы относительно горизонтальной оси.

В пункте меню ЖФ было выбрано измеритель угла для кулисы и маятника, измеритель мощности для демпфера. Дополнительно в измеритель мощности для демпфера была введена формула для подсчёта мгновенной мощности подкачивающей силы как произведение мгновенной силы на мгновенную скорость:

                                                      (2).

В ЖФ эта формула реализована аналогично формуле для демпфера:

constraintforce(18).x * constraint[18].dv.x (2а),

где constraintforce(18).x – проекция силы подкачки (1а) на ось X,

constraint[18].dv.x – скорость этой силы на ось X.

Так как в свойствах силы подкачки [18]была поставлена галочка «Поворачивать с телом», то проекция на ось X – это и есть полная сила и скорость. Поэтому их произведение даёт мгновенную мощность подкачки.

Также был создан дополнительный измеритель для определения мгновенных работ на подкачке и демпфере, а также их разности. Мгновенная работа определяется произведением мгновенной мощности на шаг эксперимента по времени (0.025 с):

                                               (3).

В ЖФ это реализовано так:

Output[19].y1*0.025

Output[19].y2*0.025                                                     (3а),

где Output[19].y1 – значение измерителя [19] по оси y1 (мгновенная мощность на демпфере),

Output[19].y2 – значение измерителя [19] по оси y2 (мгновенная мощность на подкачке).

Разность работ:

(4).

 

2. Эксперимент.

После запуска эксперимента постепенно увеличивающаяся сила подкачки раскачивает маятник и доводит угол его раскачки до максимально возможного для данных параметров механизма. Основные критические положения маятника за один период представлены на рис. 2.

Рис. 2 Кинематика движения маятника за период

              После выхода маятника на стабильный режим работы эксперимент был остановлен. Для более тщательного изучения мощностей масштаб вывода графиков был увеличен за счёт выбора временного интервала – за период качания маятника 1,28 с (от 40 до 41,28), рисунок 3. Зелёным представлен график выходной мощности устройства (демпфера), а красным – входной мощности (подкачки).

              Чтобы убедиться – есть ли какой-либо выигрыш в работе на выходе устройства достаточно проинтегрировать разность работ входа и выхода за период подкачки, т.е. по большому счёту сравнить суммы зелёных и красных площадей за период работы маятника (рис.3). Визуально всё чико в чику, выигрыша нет.

Непосредственной функции интегрирования (суммирования) в ЖФ я не нашёл, поэтому перенёс результаты эксперимента в таблицу 1, а затем базу данных эксперимента в Маткад, где благополучно проинтегрировал.

Рис. 3 Разница мгновенных работ на демпфере (выходе - зелёным) и на подкачке (входе – красным)

              Результаты интегрирования представлены на рисунке 4.

Рис. 4 Результаты интегрирования

Как видим, разница «выигрыша» и «проигрыша» составляет 0, 008 Дж, что меньше чем средняя работа за шаг интегрирования (0,010 Дж). Это говорит о том, что разница на уровне ошибки интегрирования и реального выигрыша нет.

3. Выводы

 

1) Параметры механизма маятника были выбраны во многом случайным образом, только лишь с целью его стабильной работы (автоколебания). По этим выбранным параметрам при моделировании в ЖФ выигрыша в выходной работе по отношению ко входной за период работы маятника нет.

2) Казалось бы, тему можно закрыть, но одно наблюдение заставляет задуматься о природе таких колебаний, когда входной импульс передаётся не мгновенно, а за достаточно ощутимый по отношению к единице жизни маятника (периоду его колебания) период времени. Это смещение «выигрышей» (зелёное на рис. 3) и «проигрышей» (красное). Скорее сего это связано с моментом инерции элементов механизма (кулисы, груза и т.д). Это наблюдение наталкивает на мысль, что маятник Милковича более открытая система, чем простой удлинённый рычаг, в котором импульс передаётся почти мгновенно. Ведь пока длится период «выигрыша» с параметрами окружающей среды могут происходить изменения, приводящие к изменению поведения маятника. Или эти изменения могут быть вызваны искусственно.

3) Следует глубже исследовать работу механизма на предмет дисперсионного анализа его параметров, т.е. провести планирование эксперимента, что в ЖФ сделать гораздо быстрее, чем в натуре.

4) Полезная нагрузка в виде демпфера может быть не «пассивной», а «активной», т.е. иметь закон изменения, например, коэффициента демпфирования созвучным (синхронным) с колебанием кулисы.

5) Возникло некоторое определение маятника Милковича – это «надломленный» простой рычаг, которым Архимед готов был перевернуть мир. Действительно, если провести обратную операцию – повернуть маятник до уровня кулисы, закрепить его, убрать массы противовеса и маятника (уравновесить), задать нужную знакопеременную нагрузку – мы получим простой рычаг с теми же выходными параметрами, но на котором импульс передаётся мгновенно. (рис. 5). Только маятник Милковича несколько более компактен.

 

 

Рис.5 Простой рычаг с теми же выходными параметрами, что и маятник Милковича

 

Рассмотрев за одно и тоже время (период работы маятника Милковича) подкачивающую силу как для маятника Милковича, так и для простого рычага (рис.6), видим, что работа за период одинакова (в пределах ошибки интегрирования), а вот у Милковича - почти в 2,7 раза меньше, чем у простого рычага. Вообще импульс силы в любом преобразователе (например, рычаг в механике твёрдого тела, гидродомкрат в гидравлике, тепловой насос в теплотехнике, электротрансформатор в электротехнике) разный на «плечах» преобразователя.

Рис.6 Выигрыш в импульсе силы у маятника Милковича. Зелёным – подкачка у маятника Милковича, красным – у простого рычага. F – силы, v – скорости, F*v – мощности.

 

Таблица 1. Результаты эксперимента за период работы маятника Милковича

Время, с

Мгновенная мощность демпфера, Вт

Мгновенная мощность подкачки, Вт

Работа демпфера за шаг времени, Дж

Работа подкачки за шаг времени, Дж

Разница работ демпфера и подкачки за шаг времени, Дж

Угол поворота кулисы, рад

Угол поворота маятника, рад

40.000

0.266

0.016

0.007

4.057e-004

0.006

-0.084

0.755

40.025

0.504

0.001

0.013

3.402e-005

0.013

-0.068

0.759

40.050

0.725

0.005

0.018

1.351e-004

0.018

-0.048

0.750

40.075

0.878

0.031

0.022

7.767e-004

0.021

-0.026

0.731

40.100

0.934

0.075

0.023

0.002

0.021

-0.002

0.701

40.125

0.889

0.137

0.022

0.003

0.019

0.023

0.660

40.150

0.758

0.215

0.019

0.005

0.014

0.046

0.611

40.175

0.573

0.307

0.014

0.008

0.007

0.066

0.554

40.200

0.370

0.408

0.009

0.010

-9.662e-004

0.084

0.490

40.225

0.186

0.514

0.005

0.013

-0.008

0.097

0.419

40.250

0.055

0.617

0.001

0.015

-0.014

0.105

0.342

40.275

7.423e-004

0.711

1.856e-005

0.018

-0.018

0.109

0.260

40.300

0.034

0.787

8.390e-004

0.020

-0.019

0.107

0.174

40.325

0.149

0.838

0.004

0.021

-0.017

0.100

0.085

40.350

0.325

0.860

0.008

0.021

-0.013

0.087

-0.006

40.375

0.525

0.848

0.013

0.021

-0.008

0.071

-0.097

40.400

0.703

0.804

0.018

0.020

-0.003

0.051

-0.188

40.425

0.816

0.731

0.020

0.018

0.002

0.029

-0.277

40.450

0.836

0.636

0.021

0.016

0.005

0.006

-0.363

40.475

0.758

0.528

0.019

0.013

0.006

-0.017

-0.443

40.500

0.600

0.417

0.015

0.010

0.005

-0.038

-0.517

40.525

0.401

0.309

0.010

0.008

0.002

-0.056

-0.583

40.550

0.209

0.213

0.005

0.005

-1.026e-004

-0.069

-0.639

40.575

0.066

0.132

0.002

0.003

-0.002

-0.079

-0.685

40.600

0.002

0.070

5.311e-005

0.002

-0.002

-0.082

-0.721

40.625

0.026

0.028

6.574e-004

6.880e-004

-3.055e-005

-0.081

-0.744

40.650

0.126

0.004

0.003

1.116e-004

0.003

-0.074

-0.755

40.675

0.273

0.001

0.007

3.161e-005

0.007

-0.063

-0.755

40.700

0.429

0.020

0.011

4.965e-004

0.010

-0.048

-0.742

40.725

0.555

0.057

0.014

0.001

0.012

-0.030

-0.718

40.750

0.621

0.113

0.016

0.003

0.013

-0.011

-0.683

40.775

0.612

0.186

0.015

0.005

0.011

0.009

-0.637

40.800

0.532

0.274

0.013

0.007

0.006

0.028

-0.582

40.825

0.399

0.375

0.010

0.009

6.013e-004

0.046

-0.519

40.850

0.246

0.483

0.006

0.012

-0.006

0.060

-0.449

40.875

0.108

0.592

0.003

0.015

-0.012

0.070

-0.373

40.900

0.019

0.693

4.792e-004

0.017

-0.017

0.076

-0.291

40.925

0.004

0.779

1.010e-004

0.019

-0.019

0.077

-0.206

40.950

0.072

0.841

0.002

0.021

-0.019

0.073

-0.117

40.975

0.214

0.875

0.005

0.022

-0.017

0.064

-0.027

41.000

0.405

0.876

0.010

0.022

-0.012

0.050

0.065

41.025

0.607

0.843

0.015

0.021

-0.006

0.032

0.156

41.050

0.770

0.779

0.019

0.019

-2.259e-004

0.011

0.247

41.075

0.847

0.689

0.021

0.017

0.004

-0.012

0.335

41.100

0.807

0.582

0.020

0.015

0.006

-0.035

0.419

41.125

0.650

0.466

0.016

0.012

0.005

-0.057

0.497

41.150

0.418

0.352

0.010

0.009

0.002

-0.075

0.568

41.175

0.184

0.247

0.005

0.006

-0.002

-0.089

0.629

41.200

0.030

0.158

7.563e-004

0.004

-0.003

-0.097

0.680

41.225

0.009

0.089

2.235e-004

0.002

-0.002

-0.098

0.718

41.250

0.124

0.039

0.003

9.841e-004

0.002

-0.092

0.744

41.275

0.333

0.010

0.008

2.435e-004

0.008

-0.080

0.757

41.300

0.573

0.001

0.014

3.440e-005

0.014

-0.063

0.758

 

Размещено на сайте 23.03.2016.

Статьи других авторов
На главную

Добавить рекламное обьявление
Яндекс.Метрика
Hosted by uCoz